Kurzer unvollendeter und unvollständiger Versuch einer Beschreibung der wahrhaften und schönen Ästhetik, d.i. des Verhältnisses der Mathematik zur Anschauung.

Jeder Physiker oder Philosoph sei eingeladen Kritik zu äußern oder Anmerkungen zu geben.

Ich denke, daß sich aus dem folgenden Versuch eine großartige Philosophie schreiben ließe, wenn man einzelnen Kapitel vollständiger und mathematisch tiefer ausführen würde. Außerdem ließe sich ein Gedanke nachweisen, der zur Erhöhung der menschlichen Würde im naturwissenschaftlichen Weltbild beitragen würde, indem nämlich gezeigt würde, daß der Mensch unbewußt alle Mathematik der Welt schon in sich trägt und dieselbe in der Schönheitanschauung ahndet.

Die Welt ist Mathematik.

Die Welt ist Bild.

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§1. Grundlage der Anschauung

Die Verknüpfung von Bild und Mathematik ist der Verstandesweltknoten. Unsere subjektive Anschauung beginnt mit der Projektion und Spiegelung. Indem wir das äußerliche Objekt durch Lichtstrahlen vermittelt empfangen, die allesamt durch den Kreis der Iris ihren Weg nehmen müssen um gespiegelt an der Retina gedeutet zu werden, wird unsere Anschauung durch diese geometrische Einrichtung zuallererst geometrisch. Danach erst wird diese geometrische Information in den Nervenbahnen zur arithmetischen Information umgewandelt und zum Verstand weitergeleitet. Ich vermute der Verstandesweltknoten liegt in dieser Abbildung einer Halbsphäre auf einen Kreis, der wiederum gespiegelt auf eine Halbsphäre abgebildet wird; der mathematische Ausdruck dafür ist eine Riemannsphäre, der in der Erscheinung uns bekannte Ausdruck davon ist das Auge. Wie nun diese geometrische Grundwahrheit mit dem Dualkonzept, welches Funktionen oder andere mathematische Gebilde auf 1-dimensionale Konstrukte herunterproijeziert, damit sie uns konsumerabel sowohl in der mathematischen Handhabung als auch in der Verarbeitung im Nervensystem werden, zusammenhängt, gälte es zu zeigen; außerdem wie die schöne Archimedischen Proportion von Oberfläche der Halbsphäre zum Kreis, welche 2:1 ist, damit zusammenhängen sowie die Eulersche Formel, welche die Verbindung von kreisenden Atomen auf Sphären mit spiralförmigen Wellen, wovon die Projektionen unsere reellen Sinus und Cosinuskurven sind, mit welchen wir alle Wellen beschreiben, damit in Verbindung steht, sodann man auch von der Eulerformel die Verbindung zur arithmetischen Analysis des Unendlichen und zur Logik schlagen könnte.

 [Zeichnung Augenspiegelung und Eulerformelkugel]

Nachdem man diese Grundkonzepte in korrekter Weise mit der komplexen Kugel (Riemannsphäre) in Verbindung gebracht hat, könnte man die gesamte Grundlage der Mathematik in einem intuitiven Bild beschreiben. Wenn nun also die geometrische Projektion im Auge und die damit zusammenhängende Erzeugung von Zahlenreihen und ihrer Integration geklärt wäre, könnte man fortschreiten und sich fragen, wie durch die Logik, die als Analysis des Unendlichen die Verarbeitung der unendlichen Reihen durchführt, das Bild entsteht. Mit Bild bezeichne ich dasjenige, welches mit unserer Seele in Verbindung steht als dieselbe affizierend. Auf diese Affektion zielt Goethe hin, wenn er den brennenden Eindruck des Bildes auf die Seele mit den schönen Worten beschreibt:

Und deines Geistes höchster Feuerflug

Hat schon am Gleichnis, hat am Bild genug.

Das Bild also ist dem Menschen der höchste Genuß. Das rührt daher, daß unsere mathematische Fähigkeit darauf ausgerichtet ist komplexeste Data zu einem Bild zusammenzufassen, wobei Farben Zusammenfassung der durcheinanderlaufenden Wellen sind, wobei Materialien Superpositionen solcher Farben sind und so fort die Stufenleiter hinauf bis hin zu den kompliziertesten und harmonischsten Bildern, welche uns im ästhetischen Anschauen als Schönheit erscheinen.

Das Gleichnis ist ähnlich wie das mathematische Grundsymbol - das Gleichheitszeichens, bloß daß es auf ganze Bilder und komplexere Begriffssphären, nicht auf abstrakte einfache Mengen, wie es das Gleichheitszeichen der Mathematik tut, geht. Im Gleichnis legen wir sehr komplizierte Mengen und Kardinalmengen, deren Begriffssphären ähnlich sind, übereinander und operieren mit denselben, als ob sie dasselbe wären, d.h. als ob wahrhaftig ein Gleichheitszeichen der Mathematik zwischen ihnen Geltung hätte. Mengen und Kardinalmengen sind die mathematische Beschreibung unserer Begriffssphären. Unsere Begriffe aber haben eine Topologie in ihren Sphären, wenn auch eine sehr sehr komplizierte, während Mengen keine Topologie besitzen. Das heißt es gibt gewisse „kürzere“ Wege die unsere Gedankenassoziationen eher beschreiten als andere „längere“. Die Abbildungen von Mengen auf Mengen hingegen können auf unendlich viele Weisen ausgeführt werden.

Dies sei gesagt zur inneren mathematischen Anschauung und Begriffsbildung, äußerlich hat der Raum aber noch eine sehr andere Topologie, die uns vielleicht auch eben daher mathematisch so schwer erklärlich ist, da eine komplexe Spiegelung im Auge passiert, bevor wir den Raum im Verstand konstruieren.

Die Topologie des äußeren Raumes ist wahrscheinlich eine Synthesis aus euklidischen Raum und hyperbolischem Raum, welche mathematisch als Minkowski Raum beschrieben wird.

§2. Strukturprägung des Raumes

Die Grundlage der Physik ist Raumzeit, d.i. eine Struktur. Diese Struktur ist unsere Anschauungsform apriori. Im Raum befindet sich an allen Stellen gewaltige Energie, weil der dieselbe konstituierende Wille ewig und immerwährend ist. Es ist nun an jedem Ort theoretisch alles möglich (potentia), nicht aber wirklich (actu). Unser mathematisches Skalarfeld beschreibt in dieser Raumstruktur die wirkliche potentielle Energie, d.h. wieviel Energie an einem bestimmten Punkt im Raum tatsächlich in der Struktur gespeichert liegt; theoretisch ist an jedem Ort unendlich viel Energie auf der anderen Seite der Welt vorhanden, da das Ding an sich, das alles konstituierend ist, ewig ist. Um in die Welt einzutreten, braucht es jedoch die richtige Raumzeitstruktur. Es wäre also denkbar, daß an dem Ort, an dem jetzt die Erde sitzt, eine Sonne entstünde, wenn all die Gelegenheitskausalitäten, welche die Sonne über eine sehr lange Zeit aufgebaut haben, an diesem einen Ort in Universum instantan aufträten. *Die leuchtenden Kugeln der Explosionen der Wasserstoffbomben, welche die Menschheit im letzten Jahrhundert als kleine Sonnen auf der Erde aufgehen ließ, waren Beweis für die instantan freigegebene schier unendliche Energie, welche in kleinsten Atomen gespeichert liegt, nur daraufwartend, daß die Gelegenheitskausalität eintritt, um in der entsprechenden Form frei zu werden.

Wenn sich Planeten bewegen, dann führen sie die Raumstruktur mit. Dasselbe geschieht, wenn Menschen sich bewegen, auch sie führen die Raumstruktur mit sich, wohin auch immer sie gehen. Es ist also ein mechanischer Trugschluß, wenn man denkt, der Planet bewege sich durch leeren oder der Mensch bewege sich durch eher leeren Raum, vielmehr muß man sich es so denken, daß der Mensch wenn er sich einen Schritt bewegt hat, er dem neuen Ort seine Raumzeitstruktur aufgeprägt hat; so verhält es sich mit aller Bewegung aller Dinge im Universum.

Ein Lichtstrahl ist die fortschreitende strukturelle Prägung des Raumes, nicht aber ein bloßes Fortschreiten eines Teilchens durch den leeren Raum. Ich denke mir diese Prägung als spiralförmige Drehung der Raumstruktur um den Lichtstrahl. Innig verknüpft ist diese Spirale mit der Eulerformel, wie es aus den komplexen Lösungen der Wellengleichung hervorgeht; vielmehr aber ist meine Hypothese, daß die Eulerformel als schönste mathematische Formel eben nur der Ausdruck der einfachsten und schönsten Struktur der Welt, nämlich des Lichtstrahles ist. Es ist sehr unwahrscheinlich, daß die Eulerformel und ihre rein analytische Herleitung aus den komplexen Zahlen bloß zufällig so unglaublich gut auf die Quantenmechanik paßt, obwohl dieselbe erst 150 Jahre später entdeckt wurde. Die Beschreibung des mathematischen Elements eines twistor in der modernen Physik ist im Grunde die Sache, von der ich hier spreche, bloß daß die Verknüpfung dieser drehenden Raumstruktur mit meiner Spiraltheorie mir noch nicht vollkommen einleuchtet.

Es ist also nirgends eigentlich leerer Raum vorhanden, sondern derselbe ist bloß an diesem Ort unentwickelt. So könnte man die Idee Leibnitzens neu bedenken, indem man seine Monaden, welches die energetischen Punkte des Raumes sind, sich als mehr oder weniger entwickelt denkt, d.h. je höher der Wert des Skalarfeldes an einem Ort, desto mehr entwickelt sei dieser Punkt; wobei entwickelt das infinitesimale Zusammenrücken dieser Punkte bedeutet, welches in der Physik mit dem Gradienten beschrieben wird, welcher die infinitesimale Änderung angibt, die entsteht, sobald man sich mit menschlicher euklidischer Geometrie im Raum bewegt. Denn die Punkte sind wahrscheinlich in einer anderen Geometrie angeordnet, welche nicht die 3-dimensionale euklidische kartesische ist. Es ist eben die Minkowski Geometrie, die in der Beschreibung des physischen Raumen außer dem euklidischen Raum noch die Zeit der Übertragung von Punkt zu Punkt miteinbezieht. Auch dies paßt überaus gut auf die Leibnitzsche Überlegung, daß es keinen absoluten leeren Raum gibt, sondern nur subjektive Monaden, die mehr oder weniger entwickelt sich darstellen. Die höhere Entwicklung hat aber nicht nur mit der Quantität der Energie zu tun, sondern vielmehr kommt es auf die harmonische Zusammensetzung des Raumes an. Symmetriegruppen sind erhaltene Raumstrukturen im zeitlichen Fortschritt des Bezugssystems. Bezugssysteme sind an einem Punkt entwickelte Monaden. Vom mathematischen Standpunkt könnte man nun sagen: der Mensch ist die schönste Form dieser Superposition der Symmetriegruppen.

§3. Mathematische Beschreibung der Raumzeit

Einstein hat die Raumzeit in einer Formel beschrieben, welche mit dem oben erwähnten Lichtstrahlen, d.i. mit den quantenmechanischen winzigen Vorgängen leider mathematischen noch nicht zusammenpaßt, sodaß es eine Beschreibung für die makroskopische Raumzeit Verkrümmungen (Stauchungen), welche die Gravitation sind, und eine andere für die mikroskopischen Verkrümmungen (Stauchungen), welche die Lichtstrahlen sind, gibt. Daß aber schlußendlich sich zeigen wird, daß Gravitation eine Superposition der schier unendlich vielen kleinen Verkrümmungen ist, davon bin ich überzeugt. Es wird derzeit in der Quantenfeldtheorie versucht. Das Problem, welches es zu lösen gilt: ist die punktbezogenen fortschreitenden Bezugssyteme der Lichtstrahlen mit der makroskopischen Raumkrümmung in Einklang zu bringen. Was bedeutet, daß man die infinitesimale euklidische Behandlung der Wellenfunktionen mit der Raumzeitstruktur, welche nicht nur euklidisch ist, vereinbart.

Die Formel Einsteins lautet dergestalt:

Das Ricci Skalar ist die oben erwähnte Energiemenge an einem Punkt. Die rechte Seite der Gleichung ist ein Energiefluß durch eine Sphäre.

Was ist eigentlich die Newtonsche Konstante G physikalisch raumzeitlich gedeutet?

Ich denke mir, die Stauchungen als Zusammenschiebung und Verkrümmung der Würfelchen im kartesischen Koordinatensystem. Dieses wird durch die Tensorrechnung, welche eben diese Linien der kartesischen Koordinaten (Geodäten) biegt und staucht.

Außerdem werden die spiralförmigen Drehungen des Raumes beim Lichtstrahl, wenn man sie superpositioniert zu einem raumerfüllenden Wellenphänomen, das sich kugelschalenförmig ausbreitet.

Diese ausbreitende Kraft des Lichtes, d.i. die elektromagnetische davon ist also die Ausdehnungskraft und die anziehende Kraft ist die Gravitation. Wie passen aber nun die anziehende Gravitation, der anziehende Magnetismus, der wegfällt, wenn man sich in das rechte Bezugssystem setzt, und die anziehende sowie abstoßende elektrische Kraft zusammen in ein Bild. Es wird etwas mit den bewegten und ruhenden Bezugssysteme zu tun haben; wobei Planeten von außen gesehen die bewegten Bezugssysteme im Raum sind, während alle Punkte die ruhenden Monaden sind?

§4. Quanta der Raumstruktur

Das Energiefeld im Raum manifestiert sich in Quanta, wobei die kleinste Quantität der Energie das Plancksche Wirkungsquantum ist, d.i. die Wirkung, die mathematisch aus dem Willen in die Erscheinung tritt, hat eine kleinstmögliche Größe. Nun kann man diese Energiefelder sehr gut beschreiben, indem man die Orte, Geschwindigkeiten und Impulse miteinander in Verbindung setzt, was durch die Beschreibung im Lagrange und Hamilton Formalismus gemacht wird, wobei erster auf dem 2-achsigen Koordinatensystem Ort und Geschwindigkeit und zweiterer Ort und Impuls miteinander in Relation setzen. Potentielle Energie nämlich hängt mit dem Ort und Kinetische Energie mit der Geschwindigkeit zusammen und die Geschwindigkeit wiederum mit dem Impuls.

Die Quanta aber muß man berücksichtigen, nicht kann man ein bloßes Kontinuum im Formalismus zulassen, daher muß man die Veränderung der Energie in der Schrödingergleichung mit der Planckschen Größe multiplizieren. Außerdem auch mit der imaginären Einheit, da die natürliche Struktur des Raumes komplex ist.

Die Schrödingergleichung, die wellenartige Kraftfelder und darin sich manifestierende Partikel beschreibt, lautet daher:

D.h. die komplexe (imaginäre) zeitliche Veränderung der gequantelten Energie ist gleich der zweifachen örtlichen Veränderung (Laplace Operator) des Impulses addiert mit der örtlichen potentiellen Energie. Warum nicht bloß einfache Veränderung, d.i. Geschwindigkeit?

Die unterliegende stetig fortschreitende Schrödinger Evolution, wird durch eine Messung unterbrochen und dabei springt das System, dann in einen beobachtbaren Zustand. Hier ist die Verbindung der göttlichen und der menschlichen Mathematik zu sehen, die sich stetig mit der Zeit verändernde Funktion springt in eine reelle Darstellung, weil wir nicht in der Lage sind zwei Lichtstrahlen die aufeinandertreffen so akkurat zu beschreiben, daß wir die euklidisch menschliche Vereinfachung in einen Zustandsvektor annehmen müssen, analog wie wir die den Umfang des Kreises durch die Zahl Pi annähern. Vielleicht findet aber noch mehr statt, als in die bloße Ungenauigkeit, vielleicht tritt das dynamische nur in bestimmten euklidischen reellen Vektoren ins wirkliche Dasein. Während die imaginäre Rechnung durch komplexe Zahlen auch die andere Seite der potentiellen Welt mitberechnet. Um die aktuale reele Inerscheinungstretung zu messen, bedient man sich der Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem man die komplexe Wellenfunktion quadriert erhält man einen reelen Wert zwischen 0 und 1. Dieses Quadrat der Wellenfunktion Phi ist so definiert, daß man Phi mit seinem komplexkonjugierten multipliziert, d.h. man projiziert die sich als spiralförmiges Kraftfeld um den Lichtstrahl drehende Wellenfunktion als Wert, welcher die Intensität darstellt auf dem Lichtstrahl.

In der Quantenmechanik wird das Differential, multipliziert mit dem Quantum und er komplexen Einheit, daher direkt mit dem Impuls gleichgesetzt, da ein Elemtarteilchen als Punkteilchen wahrlich bloß eine infinitesimale Bewegung im Raum (Raumzeit? Gibt es auch relativistische Quantenmechanik) benötigt um einen Impuls zu besitzen, soll heißen: das euklidisch kartesische Netz im Raum mit Punktteilchen versehen, ist der Grund auf dem die Quantenmechanik formuliert wird und gleichzeitig auch der Grund der mathematischen Anschauung, während die Zahlgröße des Wirkungsquantum die Masse ersetzt.

Die Zustandsvektoren der Observablen sind nun raumerhaltende Gruppen. Die Deutung dieser Symmetriegruppen:

Konzept

Mathematisch

Physikalisch

Unitäre Matrix

U†U = I

Erhält Wahrscheinlichkeiten in Quantenmechanik

Hermitesche Matrix

H = H†

Repräsentiert beobachtbare Größen

Exponentialabbildung

e^{iH} ist unitär

Zeitentwicklung (Schrödinger-Gleichung)

Komplexe Konjugation

z→zˉ, A→Aˉ

Spiegelung an reeller Achse (nicht am Raum selbst)

§5. Philosophische Deutung des Hamilton und Lagrange-Formalismus

Im Lagrange Formalismus werden Ort und Geschwindigkeit zueinander in Relation gesetzt. Im Hamilton Formalismus werden Ort und Impuls zueinander in Relation gesetzt. Im ersteren Ort und infinitesimale Ortsänderung und im zweiteren Ort und infinitesimale Ortsänderung multipliziert mit der Masse. In Relation gesetzt heißt auf ein 2-achsiges rechtwinkliges Koordinatensystem aufgetragen.

Es gilt aber zu beachten, daß nicht der reale Ort und die reale Geschwindigkeit explizit zueinander in Relation gesetzt werden, sondern eine Abstraktion davon, d.h. eine Kurve in einem abstrakten Raum entsteht, die schneller oder langsamer durchlaufen werden kann. Die Veränderung des Ortes ist unabhängig von der Veränderung der Geschwindigkeit, denn das System kann sich langsam oder schnell verändern; jedoch kann es nicht einfach eine Ortskonfiguration überspringen, d.i. instantan in einem völligen anderen Zustand springen. Dadurch ist also der Ort implizit sehr wohl mit der Geschwindigkeit verknüpft. Im Hamilton-Formalismus ist das ganze noch zusätzlich mit der Masse verknüpft, was denselben noch mächtiger macht. Was ist eigentlich Masse? Masse wird durch den Impuls und die Geschwindigkeit definiert: p/v = m. Also der Impuls p = m*v scheint eine infinitesimale Ortsänderungsrate multipliziert mit einer Energieintensität zu sein.

Daß hier formal das gleiche wie oben im §2 erwähnt geschieht, ist einzusehen, d.i. eine zeitliche Zusammenstauchung des Raumes, wodurch eben die Physis als Zusammenspiel zwischen Ort und Ortsveränderung entsteht.

§6. Infinitesimalrechnung

Differenzieren heißt im Unendlichen ein Verhältnis festmachen, welches genauer ist als aller endlich durchschrittene Sukzeß.  Indem man also das infinitesimale Verhältnis der Einheiten der zwei Zahlenstrahlen zueinander setzt, gewinnt man eine den zweidimensionalen Raum konstituierende Beschreibung durch den infinitesimalen Bruch delta x/delta y. *Man nimmt dabei immer an, daß der Raum linear ist, auch wenn die zwei Zahlenstrahlen nicht rechtwinkelig zueinander stehen, behebt man dies mit einer Kombination aus Skalarprodukt und Kreuzprodukt und Determinante, um das von den 2 Vektoren eingeschlossene Parallelogramm zu berechnen, aber dabei bleibt doch der Raum linear; nicht also darf eine Achse eine Kurve oder dergleichen sein. (Paralelltransport als Ausnahme?) Infinitesimalrechnung funktioniert nur auf infinitesimalen Teilen des Raumes, weil sie Euklidischen Raum voraussetzt, der gekrümmte Raum hingegen ist bloß annäherungsweise in EINEM infinitesimalen Punkt euklidisch. => Riemannscher Krümmungstensor.

Integrieren heißt auch im Unendlichen ein Verhältnis festmachen, welches genauer ist als aller endlich durchschrittene Sukzeß.

Man muß unterscheiden zwischen dem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem bevor man und nachdem man differenziert oder integriert hat.

x^2 differenziert = 2x, d.h. y=2x ist das Verhältnis zwischen den ursprünglichen Zahlenstrahlen; die Fläche unter der neuen Kurve y=2x ist die Multiplikation der zwei Einheiten der Zahlenstrahlen, welche in dem eben genannten Verhältnis miteinander stehen.

[Zeichnung und Überlegung der Umkehrung]

Die Differentialrechnung gibt das infinitesimale Verhältnis der 2 Zahlenstrahlen, welche die Funktion konstituieren, an, d.i. stellt diese in einem Bruch dar, welcher im Unendlichen viel genauer ist als jeglicher endlich durchschrittene Sukzeß der Brüche, welche die Teilverhältnisse ausdrücken. Daß uns diese Fähigkeit mittels der logischen Infinitesimalrechnung unendlich genaue Brüche zu errechnen und damit zu operieren gegeben ist, läßt vermuten, daß wir Einblick in die göttliche Mathematik besitzen.

Die Integralrechnung ist nun deshalb die Umkehrung der Differentialrechnung, da sie die Höhe, d.h. den Wert der Funktion oder die Länge der y-Achse mit dem infinitesimalen Längenstücken der x-Achse multipliziert, d.h. sowie die Differentialrechnung der zwei Zahlenstrahlen Verhältnisveränderung zueinander angibt, so errechnet die Integralrechnung dieses Verhältnisses Fläche, indem sie der zwei Zahlenstrahlen Einheiten miteinander multipliziert. Es sind also Differential und Integralrechnung infinitesimale Division und Multiplikation. Es ist aber von höchster Bedeutung, daß diese mächtigste Rechnung (weil sie unendliche Division und Multiplikation ist) mit der Linearen Algebra, d.h. mit der Raumstruktur in Verbindung gebracht werden kann, wodurch 2 Richtungen mit Einheiten zueinander ins Verhältnis gesetzt werden können.

Außerdem ist bemerkenswert, daß dies nur 2-dimensional passieren kann, also, daß alles komplizierte zueinander ins Verhältnis setzen von vielen Dimensionen, im Grunde immer auf sukzessives 2-dimensionales hintereinander ausgeführtes Zueinander ins Verhältnis setzen reduziert wird. Dadurch wird wieder klar, warum die zweidimensionale Projektion die Grundlage aller Mathematik ist, und warum die Griechen diese zuerst fanden. Was wieder zurück auf die Projektion im Auge und zur komplexen Mathematik (imaginären Einheit) führt, welche das Bindeglied zwischen 2-dimensionalem Raum und 3-dimensionalen Raum darstellt.

§7. Komplexe Zahlen

Längere Zeit habe ich, ohne zu wissen, daß der große englische Mathematiker Hamilton mit den heute als Quaternionen bekannten Zahlen dieselben Gedanken gehegt hatte, versucht die komplexen Zahlen als raumbeschreibende Zahlen zu deuten oder dergestalt zu erweitern, daß sie es tun würden. Auf dem jetztigen Standpunkt aber denke ich dergestalt darüber: Der Versuch Hamiltons eine Calculus seiner komplexen 4 dimensionalen raumbeschreibenden Zahlen zu entwickeln, ist wahrscheinlich daher gescheitert, da seine Zahlen eine Orientierung hatten; während die komplexen Zahlen, die scheinbar am besten geeignet sind die Welt zu beschreiben keine Orientierung haben. Weiters sind die komplexen Zahlen innig mit der Projektion verbunden, wodurch sie eben unsere mächtigsten Werkzeuge in der Beschreibung der Realität sind.

Diese Zeichnung der vier Zahlenkreisebenen soll die komplexen Zahlen erläutern.

Man hat somit durch die komplexen Zahlen ein Beziehung zur reellen Achse gesetzt, d.h. eine Fläche gesetzt, jedoch die Rechtshändigkeit oder Linkshändigkeit bleibt unentschieden, denn man könnte mit gleichem Recht alle drei Zeichnungen als linkshändige Koordinatensysteme aufzeichnen.

Diese Unentschiedenheit der Händigkeit (Chiralität) ist nun aber eben dieses, welches die Macht der komplexen Zahlen ausmacht. Denn hätte man eine rechte oder linke Chiralität gesetzt, so wäre das oben und unten gesetzt worden; nun aber gibt es kein oben und unten, sondern bloße Fläche, die einfach zueinander durch Infinitesimalrechnung in Beziehung gesetzt werden können.*Wie hat Gauß die Flächendeutung der komplexen Zahlen gefunden und deren Beschreibung als  ? Die offenbar etwas mit der gleichmäßigen Veränderung der Umdrehung, also mit dem Zirkel und er Sphäre zu tun hat.

§8. Das Auge und die Riemannssphäre

Wie entsteht denn unsere Raumvorstellung? Die Hauptsache für die Beantwortung dieser Frage muß logischerweise in der Struktur und er Verarbeitung im Auge liegen, d.h. es muß etwas mit der Geometrie des Auges zu tun haben. Die kreisförmige Iris und die halbkreisförmige Retina also sind bedeutend.

Die Projektion einer Halbkugel außerhalb durch die Iris zur Halbsphäre der Retina innerhalb.

[Zeichnung Projektion im Auge]

Nun kann man mathematisch äquivalent dazu sagen: einen Kreis, welcher auf einer komplexen Ebene liegt, auf die obere Halbsphäre stereographisch (vom Südpol aus) abgebildet; welches eben die obere Halbsphäre einer Riemannssphäre ist.

Wie kann man die Zeichnung des Auges explizit mit der ganzen Riemannsphäre in Verbindung setzen? Sind es Inverse Darstellungen?

So wäre auch die Raumvorstellung, durch dieses schöne mathematische Konzept der komplexen Zahlen und der Sphäre, auf den subjektiven Idealismus, d.h. auf die Vorstellungsformen im Auge und Verstand zurückgeführt, indem die Raumkonzeption, nicht 3-dimensional apriorisch (wie die älteren Philosophen es sich dachten), sondern vielmehr dynamisch komplex-projektiv erklärt wäre.

§9. Ästhetik

Dem Menschen gabst du die Werkzeuge zu erkennen die Welt, die Umstände des Lebens im allgemeinen zu fassen, und gütigst gabst du ihm auch einheitliche Bilder seiner Anschauung, daß er die Schönheit zu fassen vermögend ward.

Die Transzendentale Ästhetik Kantens lehrt uns, daß Zeit und Raum Anschauungsformen apriori sind, d.h. die Möglichkeit, daß wir überhaupt Erfahrung von dem Ding an sich gewinnen können, erhalten wir erst durch die Voraussetzung, daß wir in Raum und Zeit anschauen. Das heißt in meiner Sprache: die Mathematik ermöglicht es uns überhaupt erst von der Welt etwas zu erfahren, indem wir nämlich die Abbilder der Objekte, d.i. Abbilder des Willens (der Dinge an sich) durch unsere mathematische Vorstellungsformen uns erzeugen. Diese Abbilder des Willens nenne ich nun unsere Bilder, denn über den Willen läßt sich wissenschaftlich kaum etwas aussagen; hingegen über die Bilder, welche in die Form der Mathematik eingegangen sind, läßt sich sehr wohl einiges aussagen; wobei die Beschreibung sehr schwierig und komplex ist. Dessenthalben uns Gott mit der ästhetischen Gabe versehen hat, um uns diese unbegreifbaren, d.h. unserer Vernunft ob der Komplexität unbeschreibaren datis zu einem zusammengefaßten Begriffen erfahrbar zu machen. Ohne diese Fähigkeit wären wir für immer im Netz der unaufhörlichen Zahlenreihen verloren. Aber weiter noch: Die vollständige Zusammenfassung dieser Dinge, ohne daß wir durch die begriffliche Abstraktion viel der Wirklichkeit und Gesamtheit der Einzelheiten einbüßten, gibt uns das Vermögen der Schönheitsanschauung. Also der Mensch faßt die unzähligen Datenreihen als vereinigt im Bild auf und dieses affiziert, weil es EINES ist den EINEN Willen unmittelbar und durchgreifend, während alle begriffliche Affektion des Willens zwar auch aus EINEM Begriff entspringt, jedoch ist vieles der datarum verlorengegangen. Es gleicht also die begriffliche Vermittelung einer mathematischen Gleichung, die unbefüllt uns vorgestellt wird, wobei wir uns an der bloßen Form der Gleichung erfreuen, während die schönheitsanschauende Vermittelung uns die einende Gleichung und die unzähligen Beispiele, welche die Gleichung erfüllen, gleichzeitig vorstellt.

Bei mathematischen Denkern ist die Brücke dieses unbewußten Vermögens, welches jeder Mensch in sich trägt, zum bewußten oft zutageliegender, und daher sind diese Denker in der Lage bewußt das Angeschaute in logischer begrifflicher Abstraktion zu befestigen. Der Künstler oder Musiker geht einen Zwischenweg, indem er die Dinge halbbewußt befestigt, gleichzeitig aber auch viel komplexere Sachverhalte, d.i. weniger abstrahierte Sachverhalte ausspricht. Außerdem bin ich der festen Überzeugung, daß dieses Vermögen die gedankliche Leitung der großen Denker und Mathematiker in deren Urteilskraft übernommen hat. Denn: wie hätte Einstein die schöne Formel E=mc^2 gefunden, wenn nicht zur Einfachheit und Vereinigung hin ein Drang ihn gezogen hätte?

§10. Die göttliche Mathematik

Die göttliche Mathematik ist Mathematik des Kreises. Die menschliche Mathematik ist die Mathematik des rechten Winkels, d.h. des Quadrates, Rechteckes und der Triangel. Erstere herrscht in den radialsymmetrischen Dingen, d.i. den Atomen, in den Planeten, in den Pflanzen sowie in chaotischen Anordnungen. Zweitere herrscht in Strukturen, d.i. in Kristallgittern zwischen Atomen, in Bauwerken der Menschen oder Bienen.

Es ist merkwürdig, daß verständige auf ein äußerliches Objekt hin sich richtende Lebewesen eine bilaterale Symmetrie aufweisen, während alle anderen Dinge, die auf einer niedrigeren Stufe der Leiter der Erscheinungen stehen, eine radialsymmetrische Struktur besitzen.

Auf diesem Standpunkt könnte man sagen, daß die menschliche Mathematik, die mit der bilateralen Symmetrie in enger Verbindung steht, die höhere Mathematik ist. Es ist aber nicht so ganz klar, welches die höhere Mathematik ist, vielmehr scheint es als griffen die zwei Mathematiken wunderhaft ineinander.

Was am schönsten in der Annäherung einer dynamischen Funktion, welche der göttlichen Mathematik angehört, durch ein Polynom (Taylorreihe), welches wiederum auf der Differentation, d.i. der infinitesimalen rechtwinkeligten Mathematik baut, also menschliche Mathematik ist, sich zeigt. Das ist auch der Grund dafür, daß die Taylorreihe andauernd in der Physik verwendet wird.

Die mathematische Beschreibung des stetigen unitären spiralförmigen Fortschreitens (göttliche Mathematik) und des sprunghaften Kollabierens in einen Zustandsvektor (menschliche Mathematik) der Wellenfunktion in der Quantenmechanik, ist auch Ausdruck des Zusammenspieles der dynamischen göttlichen Mathematik und der rechtwinkligten menschlichen Mathematik.

§11. Das Bild

Was wär ein Gott, der nur von außen stieße,

Im Kreis das All am Finger laufen ließe!

Ihm ziemt's, die Welt im Innern zu bewegen,

Natur in Sich, Sich in Natur zu hegen,

So daß, was in Ihm lebt und webt und ist,

Nie Seine Kraft, nie Seinen Geist vermißt.

Die Welt ist dergestalt Bild, daß im Inneren der Menschen vermittelst des EINEN Subjektes (des Gottes) Bilder entstehen. Man ersieht eigentlich aus der Tatsache, daß die Einheiten der Mathematik beliebig vergrößert und verkleinert werden können, das Hinzielen apriori derselben auf Vereinheitlichung; einzig die Verhältnisse zueinander sind gesetzt. Diese Verhältnisse werden dann im EINEN Bild gedeutet.

Makroskopische Rückwirkung auf die kausale physische Welt wird dadurch ermöglicht, daß die Zusammenfassung in Bilder stattfindet. Dies ist mathematische Erläuterung der Popperschen These, daß die geistige Welt (Welt 2) auf die physische Welt (Welt 1) einwirkt, d.h. alles hierarchisch im Kampf begriffen ist. Während sich also in der Natur alles nach einfachen Gesetzen determiniert verbindet und flieht (Ich nehme hier die vermeintliche Indeterministik der quantenmechanischen Vorgänge aus.), so kann der Mensch durch das Widerspiel seiner Bilder und Begriffe auf eine Entscheidung kommen, die dann makroskopisch ausgeführt einen großen Eingriff in die kleinen atomaren Wechselwirkungen darstellt.

Von diesem Standpunkt aus könnte man sagen: Unser Leben wird dadurch so interessant, daß wir jäh in das stetige kausale infinitesimale Netz der Veränderungen der physischen Welt eingreifen können. Unsere Bilder und Begriffe sind also mächtigere Mathematik, welche die Grundmathematik in Objekte, Werkzeuge, d.i. Mengen zwingen kann.

Diese Mengen aus Myriaden kleinster Atomteilchen sind die Cantorschen Kardinalmengen. Wir ordnen also die Welt in solchen Mengen sowohl psychisch als auch physisch, während die nichtsprunghafte anorganische Natur in den einzelnen Atomteilchen meist infinitesimal fortschreitet. Wir befestigen komplexe Sachverhalte in Bildern und diese wiederum vermittelst Abstraktion in Begriffen. Ich sage nun aber, daß ein Bild nur sehr komplexe Mathematik ist und der Begriff der Zusammenschluß solcher Bilder ist, indem die übereinstimmenden Grundformen abstrahiert werden. Die künstliche Intelligenz, mit Millionen Verknüpfungen aus Milliarden von Mengen, ist ein statischeres Abbild der Bildentstehung, welche in unserem Verstand und unserer Vernunft dynamisch sich abspielt. An dieser Stelle muß gesagt werden, daß soviele Bilder auch der Verstand erzeugt, es doch immer das affizierte Subjekt im Menschen geben muß, nämlich seinen Willen, wie Schopenhauer dies gezeigt hat, daß ein Bild seine Wirklichkeit erhält. Viele Menschen vergessen bei den Analogien mit der künstlichen Intelligenz auf dieses sehr wichtige Ingredienz, wodurch sie dem Menschen die Hauptsache absprechen und dadurch die Welt entmenschlichen.

»Ins Innre der Natur –«

O du Philister! –

»Dringt kein erschaffner Geist.«

Nur das Subjekt nämlich kann die Zahlenreihen empfangen und lesen sowie davon berührt werden, ob man dies nun Geist, Gott oder Wille nennt. Es sind nun aber nicht mehr Zahlenreihen, aus vielem bestehend, sondern es ist EIN Bild, das der Seele vorgestellt wird. In dieser Einheit aber birgt es nun eine ganz andere Kraft und Wirkung als die Zahlenreihen der Mathematik. Dies führt uns zur Bedeutung der Bilder. Es mag wie ein Widerspruch klingen, daß es viele Bilder gibt, nachdem ich gesagt habe, es vereinige sich das viele der Zahlenreihen in einem Bilde. Aber dieser Widerspruch hebt sich, indem man bedenkt, daß in einem gegenwärtigen Moment immer nur EIN Bild der Seele vorstellig gemacht wird, während in der angeschauten Mannigfaltigkeit vieles in einem Moment uns vorgestellt wird.

"The only possible alternative is simply to keep to the immediate experience that consciousness is a singular of which the plural is unknown; that there is only one thing and that what seems to be a plurality is merely a series of different aspects of this one thing…:

Diese innerlichen Bilder in Wechselwirkung mit dem Willen (der empfänglichen und strebenden subjektiven Kraft) sind die Hauptsache im Lebewesen. Die Triebe sind Ausdruck dieser Wechselwirkung. Im Mensch tritt überdies noch die Vernunft als reflektierendes Vermögen, welches den bewußten Geist in Wechselwirkung mit Willen und Bildern bringt, hinzu. *Wo und wie wechselwirkt der bewußte Geist, welcher durch die reflexio des Vernunftvermögens zuallererst entsteht, mit den Bildern, welche durch reine Anschauungsmathematik und deren Logik angewandt auf die Superpositionen arithmetischer Reihen entstehen. Kant hat dieses Prozesses “Wie” in der Zergliederung der Begriffe versucht. Popper und Eccles haben das “Wo” in den Gehirnstrukturen gesucht. Die psychologischen Motive sind Ausdruck hiervon.

Diese inneren Motive nun sind das höchste, wozu ein Mensch fähig ist; alle Datenbeschaffung der Anschauung dient im letzten dem Zweck diesen psychologischen Motive und ihrer Vergleichung.

Die Hauptsache des menschlichen Lebens besteht in diesen Sphären; da jedoch dieselben in ihrem Volumen soviele Untersphären enthalten ist eine Handhabung sehr schwierig. *Die Glasperlen Hesses sind ein schöner Ausdruck des Spieles mit diesen Sphären. Im Spiel mit den gläsernen Sphären ein Meister zu werden, die höchste komplexeste Kunst, die es für einen Menschen gibt.

Mathematisch kann eine Sphäre eben unendlich viele projektive Bilder (Kreise) in sich tragen.

Die Vergleichung der Bilder wie wir sie im ästhetischen kennengelernt haben, ist Projektion.

Die Vergleichung und Einschließung dieser Kreise aber nun untereinander und in Begriffssphären ist

Musik ist eindimension, Ästhetik ist zweidimensional, Begriffe sind dreidimensional.

Der dunkelnde Abendhimmel zeigt uns zum Beispiel die dunkle Silhouette eines Baumes. Durch ihre tausende kleinen Löchern zwischen den Blättchen und Ästen entsteht uns eine projektive Form. (Wer dächte explizit bei diesem Bild an die inkonsumerabele Räumlichkeit des Baumes?) Der Begriff Baum ist also primär die projektive Form für unser inneres Auge.

Aber ich will nicht bloß wieder bei der mathematischen Erklärung stehenbleiben. Dieser Anblick nämlich bringt uns etwas qualitativ andersartiges entgegen. Er gibt uns ein Bild. Und wir sind von dessen Farbharmonie und den schwankenden Blättchen berührt; auch verbinden wir womöglich das Bild noch mit vielen anderen Eindrücken, wodurch ein Affiziertheit entsteht, die weit über die mathematische und ästhetische hinausgeht. Wenn wir nun nicht einen Baum, sondern einen Menschen als solches Bild uns vorstellen, dann kommen wir gänzlich in die Sphären der moralischen Bilder.

Es ist merkwürdig, daß wir um große Macht über die Natur zu erlangen, alles in kleinste Teile zerlegen müssen und mathematisch abstrakt verstehen lernen müssen; während uns doch das intuitive Begreifen der gröberen Sachverhalte soviel näher liegt, sowie doch eigentlich auf den ersten Blick als die mächtigere Methode erscheint, faßt dieselbe ja vielmehr und komplexeres in eines zusammen. Die Erläuterung dieses Trugscheines ist, daß man dabei nicht bedenkt, daß wir bloß objektiv an die Natur herankönnen; nicht haben wir handelnden Zugriff auf die innere strebende Kraft eines anderen Dinges, nur auf unser eigenen Körper haben wir vermittelst unseres unmittelbaren Willens beschränkten Zugriff. Um also einen fremden Körper zu beherrschen, müssen wir denselben vernünftig analytisch zergliedern, um ihn jedoch zu deuten, haben wir das Instrument der Bilder. Welches ein leichtes Band darstellt, womit wir objektiv verstehen, jedoch physisch einzuwirken nicht vermögen.

Einem Menschen der Vorzeit hätten wir von dieser Trennung nicht sprechen müssen, er hätte uns nicht verstanden. Die fremde Vernunft, die vor der Welt steht und sich wundert, ist heutzutage jedoch zu unserem größten Problem geworden. Viele Menschen haben schon in früheren Jahrhunderten die Abspaltung durch unser eigenes Vermögen von der Natur beklagt. Auch in der Bibel ist der Hinauswurf aus dem Paradies durch das erlernte Wort so zu verstehen, daß uns unser mächtiges Vermögen den wohligen Frieden in der Natur gekostet hat. Vielleicht ist die Heilung dieser Herausgerissenheit und mit Vernunft Hineingeworfenheit in eine nun fremde Welt Grundtriebfeder einer jeden Religion.

§12. Was ist Leben?

Leben ist mathematisch harmonische Struktur in Verbindung mit dem Willen. Es muß zur rein mathematischen Form noch eine Kraft hinzutreten, damit die Materie objective wirkt. Es muß zur Anschauung noch die innere rezeptive Seele hinzutreten, daß Bilder subjektive wirken. Da nun diese äußerliche Kraft und das innere Rezipieren den gleichen Ursprung haben, den Willen, und da sie beide in Raum und Zeit oder in der Raumzeit oder ganz eigentlich in der Projektion vorgestellt werden, läßt uns erkennen, daß eben alles Vorgestellte mathematischer Natur ist und durch die einheitlichen Bilder mit dem EINEN Willen in Verbindung tritt. Gibt es nun einen Unterschied des belebten und unbelebten?

Leben ist bloß ein dem Grade vom anorganischen Ding nach unterschiedenes Phänomen ist, jedoch nichts völlig anderes. Die mathematische Struktur ist eine andere. Die Pflanzen und Tiere unterscheiden sich von den anorganischen Dingen dadurch, daß erstere aperiodische Kristallstrukturen besitzen und zweitere bloß periodische.

Schrödinger1 spricht beim Lebewesen davon, daß es sich negative Entropie zuführt, um am Leben zu bleiben, was es durch die Nahrung der ihm näherliegenden tierischen und pflanzlichen Lebewesen tut. Steine sind vielleicht deshalb so hart, weil das der wirkliche Ausdruck dafür ist, daß wie dieselben aufgrund ihrer mathematischen Harmonien nicht essen sollten et cetera. *Wenn nämlich alles auf bloßer Energiezufuhr und Energieabfuhr baute, dann wäre es theoretisch gleichgültig wodurch wir die Energie beziehen, da sie ja wie oben erwähnt in allen Dingen und deren Atomen in unendlicher Weise vorhanden wäre. Es ist nun aber in den mathematischen Harmonien wirklich nicht egal, wodurch dann eben jeder Organismus seiner Mathematik angemessen eine andere Verdauungsweise für die Nahrung, wessen Zusammensetzung im gemäß ist, wählt.

Dies ist objektive die gesamte Wahrheit. Freilich ist es dann eigentlich unfaßbar komplex, wenn man sich bestrebt die spezifischen mathematischen Struktur aller Zwischenstufen vom Stein bis zum Lebewesen zu erklären. Die Frage bleibt nur noch? Gibt es einen Unterschied zwischen der aktiven gerichteten Bewegung eines Lebewesens und den passiven Kräften, die auf einen Körper mit Naturnotwendigkeit wirken?

Die Kraftfelder und die Wechselwirkung der modernen Teilchenphysik haben diese Schwierigkeit behoben, indem sie das mechanische Weltbild auf ein Wechselswirkungsbild geändert haben; wobei man auf mikroskopischer Größe nicht mehr trennen kann zwischen aktiven und passiven Dingen, sondern alles auf verwebte mathematische Wechselwirkung hinausläuft.

*Die objektive Anschauung ist als aktives Organon dem sich frei bewegenden Lebewesen eigen, sie hebt in der bilateralen Symmetrie an. Was uns vielleicht wieder darauf schließen läßt, daß die gesamte Welt Mathematik ist. Pythagoras hatte fast recht, als er die Mathematik und Gott gleichsetzte. Er vergaß dabei nur das Subjekt. Alles Objekt ist wirklich nur Mathematik.

1What is life? – Schrödinger 1944

§13. Synthesis der Mathematik und der Bilder

Ich habe diese Schrift „Die Welt als Bild und Mathematik“ überschrieben, in Anlehnung an Schopenhauers Zweiteilung der Welt in Wille und Vorstellung. Die Synthesis der Anschauung apriori mit den Platonischen Ideen hat er aber nicht ausgeführt; was ich nun eben in Bild und Mathematik versuche.

Mathematik ist zweigeteilt in Mathematik apriori, d.i. Raumzeit-Anschauungsprojektion und deren komplexe Verarbeitung, und Mathematik a posteriori, d.i. Mathematik nach Begriffen.

Man kann sich die Wellen der Welt so denken, daß ihre Überlagerungen Farben ergeben, und deren Zusammenschluß wiederum Bilder; oder man sagt: die Überlagerungen ergeben Formen und deren Zusammenschluß ergeben Ideen.

Wir tragen einerseits die Fähigkeit in uns, mathematische Strukturen der Außenwelt aufzunehmen, andererseits auch die Fähigkeit, diese Strukturen als einheitliche Bilder auf unseren Willen zu beziehen. Die Beziehungen zwischen den Bildern und dem Wille ist subjektiv, während die Aufnahme der mathematischen Strukturen der Außenwelt objektiv ist. Alle Menschen sind sich in den mathematischen Strukturen einig, auch in den Bildern sind sie sich noch einig, wo aber die Unterscheidung stattfindet, ist in der Affiziertheit durch die Bilder und deren Wertung in Begriffen, denn hier tritt die subjektive Beschaffenheit mit den Bildern in Verbindung und ergreift, was dem jeweiligen Subjekt dienlicher ist, und befestigt in den gelernten Begriffen.

§14. Wolken und Mandelbrotmenge

Dich im Unendlichen zu finden,

Mußt unterscheiden und dann verbinden;

Drum danket mein beflügelt Lied

Dem Manne, der Wolken unterschied.

Sind Wolkenformen oder die nach mathematischer Vorschrift generierte Mandelbrotmenge schöner? Es sind wohl die Wolken, da sie das dynamisch Schöne in sich tragen; während die Mandelbrotmenge, obzwar mathematisch perfekt, bloß mathematische Schönheit in sich trägt. Außerdem besitzt die Wolkenform durch die Farbharmonie und das Spiel der Thermik und des Windes eine Mannigfaltigkeit, die den iterativen Formen der Mandelbrotmenge fehlt. Die Mandelbrotmenge ist, ob ihrer fraktalen ähnlichen Wiederholung, zwar schöner als der bloße mathematische einfache Vollkommenheit besitzende, jedoch aber Subformen und Variation vermissende, Kreis, aber weniger schön als die Himmelsschönheit der Natur, welche mathematische Vollkommenheit in sehr komplexer Weise in sich trägt.

§15. Ganzheitliche Ästhetik

Der Mensch soll mit der Schönheit NUR spielen, und er soll NUR MIT der Schönheit spielen.

Denn, um es endlich auf einmal herauszusagen, der Mensch spielt nur, wo er in voller Bedeutung des Worts Mensch ist, und er ist nur da ganz Mensch, wo er spielt.

Die ästhetische Erziehung des Menschen findet heute in sehr spezifischer Form statt, wodurch zwar das Gesellschaftsganze in einzelnen Forschungszweigen beachtliche Fortschritte macht, jedoch das Individuum in seiner Ganzheit verkümmert. Eigentlich muß man vielmehr gestehen, daß keine wahrhaftige ästhetische Erziehung stattfindet, es findet eher eine ästhetische Beschränkung in vorgelernte Begriffe und Denkformen statt, wodurch dann die Bilder der Menschen sehr arm und gleichförmig werden. Im mathematischen Gleichnis führen solche Menschen immer dieselben unbewußten Rechnungen aus, nie errechnet ihr Verstand ihrer Seele neue Welten, die derselben eine ganzheitlich menschlichere Erfahrung gäben. Ein Weg aus dieser eintönigen Lebensweise ist die Schönheitsanschauung, die uns eine Fülle und harmonische Affiziertheit gibt, wodurch unser Gemüth beglückt und unserer Seele für die darauffolgenden Bildern eine Empfänglichkeit erhält, die mit der üblichen eintönigen Grundstimmung nicht erreicht werden kann.

§16. Verbindung Kunst und Mathematik

Ein Mann sitzt an einem Flußlauf und denkt über die göttliche Mathematik nach. Ein Grashüpfer springt ihm auf den Schoß. Warmumhüllende Sommerluft am Flußlauf und am Wegesrand. Dynamisch tritt ihm die Mathematik vors Aug und an seine Haut.

Er sieht hin auf den Fluß und den Teich, worin Wasserräder von Menschenhand geformt, stehen; es drehen sich die hölzernen Räder. Der Zirkel der Räder ist angenähert durch ein Achteck und die Verstrebungen laufen in Winkeln zur Mitte. All dies hat der Mensch durch seine Anschauungsmathematik geschaffen. Hier ist die Verbindung zwischen dem Grashüpfer und dem hölzernen Wasserrad noch nicht zu sehen.

Er beginnt aus feinem Papier ein Origami zu falten und will den Grashüpfer damit abbilden. Nun macht die Menschheit den verbindenden Schritt von der klassischen Mechanik hin zum dynamischen der Natur.

*Einen Libellenflügel kann die Menscheit nicht hervorbringen, aber Natur kann eine mechanische Uhr nicht hervorbringen.

Paraphrase nach Lichtenberg

§17. Ein Wort zur abstrakten Mathematik

Ich bin bei euch so recht vernünftig geworden, habe gründlich mich unterscheiden gelernt von dem, was mich umgibt, bin nun vereinzelt in der schönen Welt, bin so ausgeworfen aus dem Garten der Natur, wo ich wuchs und blühte, und vertrockne an der Mittagssonne.

Abstrakte Mathematik, wie sie heute fast überall vorherrscht, ist die begriffliche Befestigung der wirklichen Mathematik mit dem Zweck die mathematisch intuitiven Grundstrukturen auch der Vernunft faßbar zu machen, womit aber gezwungenermaßen sich Widersprüchen eröffnen. Es ist nämlich so, daß unsere vernünftigen Definitionen niemals apriorische Gewißheiten sein können. Auch wenn uns die pedantische Befestigung der mathematisch intuitiven Grundstrukturen in vielen begrifflichen Axiomen, Lemmas und Sätzen ein sehr mächtiges Werkzeug an die Hand gibt, so ist damit niemals eine völlige Ersetzung der mathematischen Intuition möglich. Freilich gaukeln uns die Sinne Trugbilder vor, die wir vermittelst unserer kritischen Vernunft, berichtigen müssen, d.h. daß wir unsere mathematischen Täuschungen mittelst der Logik richtigstellen bestrebt sein sollten, jedoch ausschließlich auf der Grundlage der Logik in einem zureichend komplizierten System (welches unsere Anschauung ist) zu operieren ist nicht ohne Widerspruch möglich; daher man sich auf reine Anschauung apriori UND Logik gleichzeitig zu berufen hat. Denker, die alle Mathematik auf Logik zurückführen wollen, irren sich in der Annahme, daß dies möglich sei, denn es ist zwar wahr, daß logische Operationen die Grundlage unserer Computer geworden sind, jedoch ist gleichzeitig, wie die Benennung des Gerätes schon andeutet, die Zahl, die Quantität, die bloß aus der Mathematik und der reinen Anschauung apriori der Zeit gewonnen werden kann, von ebenso großer Wichtigkeit. Der Raum ist möglicherweise noch entbehrlich für diese Maschinen (auch wenn ein logischer Raum sehr wohl da sein muß, um Verschiedenheit der Entscheidungen zu gewährleisten),  aber für unser Auge und unsere Anschauung ist derselbe es gewiß nicht.

Uns also mathematisch von unserer Anschauung durch Begrifflichkeiten absolut zu trennen, ist nicht der rechte Weg, und führt uns in die Verlegenheit, welche Hölderlin in dem dem Kapitel überschriebenen Zitat ausdrückt.

Als Erläuterung will ich wieder die schöne Eulerformel anführen. Logisch befestigt ist dieselbe eine unendliche Summe:

Man kann dieselbe dergestalt angeben, oder man gibt sie visuell an:

Als Summe oder als Bild also läßt sich die komplexe Exponentialfunktion schreiben, wobei bemerkenswerterweise die Projektionen der Spirale horizontal oder vertikal, d.i. Cosinus und Sinus-Kurven uns das naheliegendste sind. Es bestätigt sich hier also wieder die innige Verknüpfung der Mathematik mit dem Bilde.

Kepler hat gesagt, daß die Geometrie in den göttlichen Sphären sich befinde, die Arithmetik hingegen nicht. In meinem System kann man dies nun idealistisch recht einordnen, indem man die Geometrie, also die bildliche Zusammenfassung der datarum, d.i. der unendlich langen Zahlenreihen, welche bloß die vermittelnde Rolle vom Auge zum visuellen Cortex, oder von der Anschauung zum Verstand haben, als göttlichere einheitlichere Form ansieht; wodurch dann überhaupt erst die Deutung und die Reaktion der göttlichen Seele auf diese vorgestellte Form, d.i. das Bild im Subjekt ermöglicht wird. *

Dies führt uns wieder zurück auf den schon erwähnten Zusammenhang zwischen komplexer Projektion und Bild. Obwohl die hier vorgestellte Eulerformel und ihrer Projektionen (sinus und cosinus) etwas anderes sind als die komplexen Zahlen und ihrer Projektion auf die Riemannsphäre sind, so scheint doch dasselbe Prinzip zu herrschen. Vielleicht sogar eine Äquivalenz der beiden mathematischen Beschreibungen auf ein Urphänomen vorhanden zu sein, das ich nicht sehe

Gott hat die komplexe Mathematik und den Raum und die Zeit wahrlich wunderhaft eingerichtet.

§18 Davinci

Nur weil ich im 21. Jahrhundert geboren ward, soll ich nicht wie Davinci von der göttlichen Zusammensetzung des Universums und des Menschen denken dürfen? Hat denn die Verbindung mit unserem Schöpfer seit damals einen Wandel erfahren?

Ich gebe zu: wir haben nun die mathematischen Möglichkeiten errungen, die Natur exakt zu beschreiben, und für den naturwissenschaftlichen Fortschritt sind mathematische spezielle Aussagen der einzig gangbare Weg, jedoch für das Individuum und das aus vielen derselben bestehende Menschengeschlecht ist dies verderblich, denn der Mensch ward nicht gemacht speziell zu sein.

Und die Ganzheit muß man überall suchen, wo es noch möglich ist, in dem Splitterhaufen der Welt. Die Vollkommenheit der Gottheit muß immerzu besungen werden, auch wenn die einzelnen Wissenschaften wie zerschneidende Messer durch des Menschen Ästhetik fahren. Und wenn man sich auf meinen Standpunkt der Mathematik und des Bildes einmal gestellt hat, dann ist die Beschreibung der Welt durch die Wissenschaft eigentlich so ganzheitlich, wie noch niemals sie es war; denn wann wäre in der Geschichte eine solche Erklärung der Mannigfaltigkeit und Einheit jemals möglich gewesen?